k均值聚类(K-means)
<span style="color: #333333; line-height: 25px; font-size: 14px;">4.1、摘要在前面的文章中，介绍了三种常见的分类算法。分类作为一种监督学习方法，要求必须事先明确知道各个类别的信息，并且断言所有待分类项都有一个类别与之对应。但是很多时候上述条件得不到满足，尤其是在处理海量数据的时候，如果通过预处理使得数据满足分类算法的要求，则代价非常大，这时候可以考虑使用聚类算法。聚类属于无监督学习，相比于分类，聚类不依赖预定义的类和类标号的训练实例。本文首先介绍聚类的基础——距离与相异度，然后介绍一种常见的聚类算法——k均值和k中心点聚类，最后会举一个实例：应用聚类方法试图解决一个在体育界大家颇具争议的问题——中国男足近几年在亚洲到底处于几流水平。
4.2、相异度计算
在正式讨论聚类前，我们要先弄清楚一个问题：如何定量计算两个可比较元素间的相异度。用通俗的话说，相异度就是两个东西差别有多大，例如人类与章鱼的相异度明显大于人类与黑猩猩的相异度，这是能我们直观感受到的。但是，计算机没有这种直观感受能力，我们必须对相异度在数学上进行定量定义。
设http://latex.codecogs.com/gif.latex?X=%5C%7Bx_1,x_2,...,x_n%5C%7D,Y=%5C%7By_1,y_2,...,y_n%5C%7D，其中X，Y是两个元素项，各自具有n个可度量特征属性，那么X和Y的相异度定义为：http://latex.codecogs.com/gif.latex?d(X,Y)=f(X,Y)%20%5Cto%20R，其中R为实数域。也就是说相异度是两个元素对实数域的一个映射，所映射的实数定量表示两个元素的相异度。
下面介绍不同类型变量相异度计算方法。
4.2.1、标量
标量也就是无方向意义的数字，也叫标度变量。现在先考虑元素的所有特征属性都是标量的情况。例如，计算X={2,1,102}和Y={1,3,2}的相异度。一种很自然的想法是用两者的欧几里得距离来作为相异度，欧几里得距离的定义如下：
http://latex.codecogs.com/gif.latex?d(X,Y)=%5Csqrt%7B(x_1-y_1)%5E2+(x_2-y_2)%5E2+...+(x_n-y_n)%5E2%7D
其意义就是两个元素在欧氏空间中的集合距离，因为其直观易懂且可解释性强，被广泛用于标识两个标量元素的相异度。将上面两个示例数据代入公式，可得两者的欧氏距离为：
http://latex.codecogs.com/gif.latex?d(X,Y)=%5Csqrt%7B(2-1)%5E2+(1-3)%5E2+(102-2)%5E2%7D=100.025
除欧氏距离外，常用作度量标量相异度的还有曼哈顿距离和闵可夫斯基距离，两者定义如下：
曼哈顿距离：http://latex.codecogs.com/gif.latex?d(X,Y)=%7Cx_1-y_1%7C+%7Cx_2-y_2%7C+...+%7Cx_n-y_n%7C
闵可夫斯基距离：http://latex.codecogs.com/gif.latex?d(X,Y)=%5Csqrt%5Bp%5D%7B%7Cx_1-y_1%7C%5Ep+%7Cx_2-y_2%7C%5Ep+...+%7Cx_n-y_n%7C%5Ep%7D
欧氏距离和曼哈顿距离可以看做是闵可夫斯基距离在p=2和p=1下的特例。另外这三种距离都可以加权，这个很容易理解，不再赘述。
下面要说一下标量的规格化问题。上面这样计算相异度的方式有一点问题，就是取值范围大的属性对距离的影响高于取值范围小的属性。例如上述例子中第三个属性的取值跨度远大于前两个，这样不利于真实反映真实的相异度，为了解决这个问题，一般要对属性值进行规格化。所谓规格化就是将各个属性值按比例映射到相同的取值区间，这样是为了平衡各个属性对距离的影响。通常将各个属性均映射到区间，映射公式为：
http://www.agoit.com/bbs/
其中max(ai)和min(ai)表示所有元素项中第i个属性的最大值和最小值。例如，将示例中的元素规格化到区间后，就变成了X’={1,0,1}，Y’={0,1,0}，重新计算欧氏距离约为1.732。
4.2.2、二元变量
所谓二元变量是只能取0和1两种值变量，有点类似布尔值，通常用来标识是或不是这种二值属性。对于二元变量，上一节提到的距离不能很好标识其相异度，我们需要一种更适合的标识。一种常用的方法是用元素相同序位同值属性的比例来标识其相异度。
设有X={1,0,0,0,1,0,1,1}，Y={0,0,0,1,1,1,1,1}，可以看到，两个元素第2、3、5、7和8个属性取值相同，而第1、4和6个取值不同，那么相异度可以标识为3/8=0.375。一般的，对于二元变量，相异度可用“取值不同的同位属性数/单个元素的属性位数”标识。
上面所说的相异度应该叫做对称二元相异度。现实中还有一种情况，就是我们只关心两者都取1的情况，而认为两者都取0的属性并不意味着两者更相似。例如在根据病情对病人聚类时，如果两个人都患有肺癌，我们认为两个人增强了相似度，但如果两个人都没患肺癌，并不觉得这加强了两人的相似性，在这种情况下，改用“取值不同的同位属性数/(单个元素的属性位数-同取0的位数)”来标识相异度，这叫做非对称二元相异度。如果用1减去非对称二元相异度，则得到非对称二元相似度，也叫Jaccard系数，是一个非常重要的概念。
4.2.3、分类变量
分类变量是二元变量的推广，类似于程序中的枚举变量，但各个值没有数字或序数意义，如颜色、民族等等，对于分类变量，用“取值不同的同位属性数/单个元素的全部属性数”来标识其相异度。
4.2.4、序数变量
序数变量是具有序数意义的分类变量，通常可以按照一定顺序意义排列，如冠军、亚军和季军。对于序数变量，一般为每个值分配一个数，叫做这个值的秩，然后以秩代替原值当做标量属性计算相异度。
4.2.5、向量
对于向量，由于它不仅有大小而且有方向，所以闵可夫斯基距离不是度量其相异度的好办法，一种流行的做法是用两个向量的余弦度量，其度量公式为：
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